Sketch of

Invented by Charles Babbage

By L. F. MENABREAof Turin, Officer of the Military Engineers

from theBibliothèque Universelle de Genève, October, 1842, No. 82

With notes upon the Memoir by the TranslatorADA AUGUSTA, COUNTESS OF LOVELACE

分析機草稿

查爾斯·巴貝奇發(fā)明

L·F·梅納布雷亞著

都靈，軍事工程部官員

日內(nèi)瓦世界圖書館，1842年10月，第82號

以及譯者對回憶錄的注釋

艾達(dá)·奧古斯塔，洛夫萊斯伯爵夫

注：分析機是什么？點進(jìn)這個話題的自然懂，不贅述。本文是在機器譯文基礎(chǔ)上校對修改完成的。由于本人并非數(shù)學(xué)專業(yè)，對文中提及的數(shù)學(xué)問題不甚了了，有待方家指正。本文僅供有興趣者了解分析機的基本原理。

原文見：https://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html

那些屬于數(shù)學(xué)科學(xué)各個分支的工作，雖然乍一看似乎是智力的專屬領(lǐng)域，但卻可以分成兩個截然不同的部分;其中一種可以稱為機械性，因為它受精確而不變的規(guī)律支配，這些規(guī)律可以用物質(zhì)的作用來表示;而另一個要求推理的介入，則更特別地屬于知性的范疇。如承認(rèn)這一點，我們可以建議用機器來執(zhí)行這些勞動的機械部分，而把那些依賴于推理能力的部分留給純粹的理智。因此，那些規(guī)范數(shù)值計算的規(guī)則的嚴(yán)格精確性，必然經(jīng)常建議使用物質(zhì)手段，要么用于執(zhí)行全部計算，要么用于簡化計算;因此，出現(xiàn)了幾種旨在達(dá)到這一目的的發(fā)明，但它們大體上只是部分地達(dá)到了這一目的。例如，廣受尊敬的帕斯卡(Pascal)機器現(xiàn)在只是人們好奇的對象，雖然它展示了發(fā)明者的強大才智，但其本身卻沒什么用處。它的威力不過是前四個算術(shù)運算的執(zhí)行，實際上也僅限于前兩個運算，因為乘法和除法是一系列加減運算的結(jié)果。迄今為止，大多數(shù)這類機器的主要缺點是，它們需要人的不斷干預(yù)來調(diào)節(jié)它們的運動，因此就產(chǎn)生了誤差;因此，如果它們在大型數(shù)值計算中沒有得到普遍應(yīng)用，那是因為它們實際上沒有解決問題所提出的雙重問題，即結(jié)果的正確性和時間的節(jié)省性。

巴貝奇先生也有類似的想法，他花了幾年時間來實現(xiàn)一個偉大的想法。他向自己提出了這樣一個設(shè)想:如果知道運算法則，那么他就能設(shè)計出一種不僅能進(jìn)行算術(shù)運算，而且能進(jìn)行分析運算的機器。這樣的想法首先會使人感到驚奇;但我們越冷靜的賦予思考,越覺得成功不可能出現(xiàn)——這是覺得這可能取決于一些原理的發(fā)現(xiàn),如果應(yīng)用于機械,后者可能能夠機械地翻譯代數(shù)符號賦予的操作。這位杰出的發(fā)明家在訪問都靈期間曾向我介紹了他對這一問題的一些看法，經(jīng)他同意，我把這些看法在我腦海中留下的印象拼湊在一起。但是讀者不要指望能找到關(guān)于巴貝奇先生的機器的描述;要理解這一點，就必須進(jìn)行大量的研究。我所要努力的，只是對所提出的目標(biāo)提供一種見解，并發(fā)展出實現(xiàn)目標(biāo)所依賴的原則。

我必須首先假設(shè)，這臺機器與同一作者的《機器經(jīng)濟論》中所提到的發(fā)動機是完全不同的。但是，由于后者引起了關(guān)于這臺機器的想法，我認(rèn)為，簡單地回顧一下巴貝奇先生最初的幾篇論文，以及它們產(chǎn)生的環(huán)境，將會是一個有用的先導(dǎo)。

眾所周知，法國政府為了推廣十進(jìn)制，曾下令大量建造對數(shù)表和三角表。M·德·普朗尼先生受委托負(fù)責(zé)這項工作。他把它分成三部分，每一部分都被指定給特定的一群人。在第一部分，公示被結(jié)合使他們屈從于數(shù)值計算的目的;第二部分,相同的公示用于計算變量的值,變量按固定連續(xù)的距離選擇;在第三部分中，大約有八十個人，他們大多數(shù)只懂加法和減法，那些經(jīng)過第二部分計算出的值，通過簡單的加減法進(jìn)行插值。

在英國，一向與上述提及的類似的工作也在進(jìn)行，巴貝奇先生設(shè)想第三部分的工作可以由一臺機器來完成;他通過一種機制來實現(xiàn)這一想法，這種機制是部分的組合起來，并且命名為差分機——因為它的結(jié)構(gòu)是建立在這個原理之上的。為了給出一些概念，比較合適的是考慮整數(shù)的平方數(shù)，1、4、9、16、25、36、49、64等等。通過從后面的數(shù)字減去前面緊鄰的數(shù)字，我們得到一個新的差值系列，我們將其命名為第一差值系列，它由數(shù)字3、5、7、9、11、13、15等組成。再做一次上述操作，我們得到第二個差值系列，它們都是常數(shù)，都等于2。我們可以在下表中表示這一系列操作及其結(jié)果。

從最后兩列B和C構(gòu)成的形式來看，很容易看出，例如，如果我們要從數(shù)字5過渡到后面的數(shù)字7，我們必須在前面加上常數(shù)差2;同樣地，如果從平方數(shù)9轉(zhuǎn)到平方數(shù)16，我們必須在前者的基礎(chǔ)上加上差7，也就是前面的差5，加上常數(shù)差2。再者,同樣的事情,要獲得16我們只需要三個數(shù)字2,5,9加在一起，上表中是ab的斜向序列。相似的,我們可以獲得25，通過相加斜方向dc的三個數(shù)字：通過相加2 + 7,我們得到了第一差值系列中7后面的9;9加16得到了平方數(shù)25。這樣，我們就可以看出，對于給定的2,5,9這三個數(shù)，連續(xù)的整個平方數(shù)系列，以及它們第一差值系列，同樣可以通過簡單的加法得到。

現(xiàn)在，為了設(shè)想這些操作是怎樣被一臺機器復(fù)現(xiàn)出來的，假設(shè)機器有三個轉(zhuǎn)盤，分別命名為A、B、C，每一個轉(zhuǎn)盤上都有刻度，比方說，有一千個刻度，而上面有一根指針可以經(jīng)過。C和B應(yīng)該還有一個定位錘，其擊打數(shù)應(yīng)與指針?biāo)甘镜目潭认嗤?。轉(zhuǎn)盤C的定位錘每敲一次，轉(zhuǎn)盤B指針要前進(jìn)一格;同樣地，轉(zhuǎn)盤A的指針會在轉(zhuǎn)盤B的定位錘的每一次敲擊中前進(jìn)一格。這是機制的一般情況。

了解了這一點之后，讓我們開始執(zhí)行一系列操作。將指針C放在刻度2，指針B放在刻度5，指針A放在刻度9。然后我們讓轉(zhuǎn)盤C的定位錘敲打;它敲打兩次，于此同時指針B將越過2個刻度。此時后者將指示數(shù)字7，也就是在上表中第一差值系列中5后面的數(shù)字。如果我們現(xiàn)在允許轉(zhuǎn)盤B的定位錘繼續(xù)敲打，它將敲打七次，在此期間，指針A將前進(jìn)七格;由于指針A開始時定位在9，這樣就會得到數(shù)字16，它9之后的平方數(shù)。如果我們現(xiàn)在重新開始這些操作，從指針C開始，指針C總是留在刻度2上，我們將會發(fā)現(xiàn)，通過無限地重復(fù)這些操作，我們可以用一種非常簡單的方法，連續(xù)地再現(xiàn)平方數(shù)的序列。

基于我們剛才描述的機器所得出的定理，是下述更一般定理的一個特例:如果在任何多項式中，其變量的最高次冪是m，且該變量每次增加相同的程度；多項式對應(yīng)的值就可以被計算，以及第一、第二、第三差值系列等可以被取定 (如前面的平方數(shù)系列);第m差值系列都是相等的。因此，為了用類似于上面描述的機器來重現(xiàn)多項式的系列值，有(m+1)個轉(zhuǎn)盤就足夠了，它們之間有我們已經(jīng)指出的相互關(guān)系。由于這種差值可以是正的，也可以是負(fù)的，機器就會有一種辦法，可以使每根針前進(jìn)，也可以使每根針后退，根據(jù)用代數(shù)方法加上的數(shù)字的正負(fù)來決定。

如果我們從一個多項式過渡到有無限元的數(shù)列,依照上述的變量的冥排序,它會首先出現(xiàn)問題,為了用機器完成由這樣一個數(shù)列所代表的函數(shù)的計算,這個機制要求配置無限的轉(zhuǎn)盤,這事實上是不可能。但在許多情況下，如果我們注意到對于許多函數(shù)，表示它們的數(shù)列是收斂的，那么困難就會消失。因此，根據(jù)所要求的近似程度，我們可以局限在只計算數(shù)列中的一定數(shù)量的元，而忽略其余的。通過這種方法，問題被歸結(jié)為一個有限多項式的問題。因此，我們可以計算對數(shù)的連續(xù)性。但由于,在這個特殊的例子中,最初被舍棄的元會按一定比例接收增量，從而給變量不斷增相同的增量,我們所要求的近似度最終將受到影響；在特定的時間間隔,通過不同的方法計算函數(shù)的值是必要的,然后分別使用獲得的結(jié)果,作為數(shù)據(jù)來推斷,通過機器得到的差值。我們看到，這里的機器執(zhí)行的是在描述法國政府命令計算的表格時提到的計算器的第三部分的功能，因此，最初提出的目的是由它來實現(xiàn)的。

這就是巴貝奇先生設(shè)想的第一臺機器的性質(zhì)。我們看到，它的使用僅限于需要的數(shù)字是可以通過簡單的加減法獲得的情況;可以說，機器只是一個特定的分析定理的表達(dá);簡而言之，它的運算不能被擴展到包含在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中的無數(shù)其他問題的解決。巴貝奇先生放棄了他原來的論文，在考慮這一尚待探索的廣闊領(lǐng)域時，設(shè)想了另一種機械系統(tǒng)的計劃，這種機械系統(tǒng)的操作本身應(yīng)該具有代數(shù)符號的全部普遍性，因此，他把它命名為分析機。

現(xiàn)在已經(jīng)解釋了問題的狀態(tài)，現(xiàn)在是我闡發(fā)基于后一種機器構(gòu)造的原理的時候了。當(dāng)分析被用于解決任何問題時，通常有兩類操作要執(zhí)行:首先，對各種系數(shù)的數(shù)值計算;第二，它們的分布與它們所影響的量的關(guān)系。例如，如果我們要得到兩個二項式(a+bx)(m+nx)的乘積，結(jié)果可用am + (an + bm) x + bnx2表示，其中必須先計算表達(dá)式am、an、bm、bn;然后取an + bm的和;最后，將得到的系數(shù)分別分配到變量的冪中。為了用機器再現(xiàn)這些運算，機器必須具有兩種不同的能力:第一，執(zhí)行數(shù)值計算的能力;二是合理分配所得的值。

但是，如果指導(dǎo)這每一種局部操作都需要人工干預(yù)，那么，在時間的正確性和經(jīng)濟性的前提下，什么也得不到。因此，當(dāng)一個問題的原始數(shù)值數(shù)據(jù)一旦被給定時，機器必須有一個附加的必要能力，那就是它必須自己執(zhí)行為解決向它提出的問題所需要的所有后續(xù)操作。因此,從需要執(zhí)行的計算的性質(zhì)或需要解決的問題給出的時刻起,這臺機器由自身內(nèi)在動力,通過所有中間操作導(dǎo)向預(yù)期的結(jié)果。它必須排除所有測試方法和猜測,而且只承認(rèn)計算的直接過程。

這是必然的;因為機器不是一種思考的存在，而只是一種按照強加給它的法則行動的自動機。這是最基本的，也是作者最早要做的研究之一，那就是找到一種方法實現(xiàn)一個數(shù)字被另一個數(shù)字相除，而不是用通常的算術(shù)規(guī)則所給出的猜測方法。實現(xiàn)這一組合的困難遠(yuǎn)非最小的，但這關(guān)系到其他人的成功。由于我在這里無法解釋達(dá)到這一目的的過程，我們必須強制自己承認(rèn)，算術(shù)的前四個運算，即加減乘除，可以經(jīng)由機器的干預(yù)以一種直接的方式進(jìn)行。當(dāng)然，這臺機器因此能夠執(zhí)行各種數(shù)值計算，因為所有這些計算最終都會分解成我們剛才提到的四種操作。為了理解機器現(xiàn)在如何根據(jù)規(guī)定的法則來完成它的功能，我們將首先給出它在物質(zhì)上代表數(shù)字的方式。

讓我們設(shè)想一個由無數(shù)圓盤組成的樁或立柱，所有圓盤都有一個共同的軸穿過它們的中心，每個圓盤圍繞該軸可做獨立的旋轉(zhuǎn)運動。如果每個圓盤的邊緣都寫有組成數(shù)字字母表的十個數(shù)字，那么我們就可以把一系列數(shù)字排列在同一條垂直線上，用這種方式表示任何數(shù)字。為了達(dá)到這個目的，第一個圓盤代表個位數(shù)，第二個十位數(shù)，第三個百位數(shù)等等就足夠了。當(dāng)兩個數(shù)字被寫在兩個不同的柱上時，我們可以用算術(shù)方法把它們結(jié)合起來，在第三根柱上得到結(jié)果。一般來說，如果我們有一系列由圓盤組成的柱子，我們依次把他們命名為V0, V1, V2, V3, V4等，例如，我們可能需要將柱V1上的數(shù)字除以柱V4上的數(shù)字，然后在柱V7上得到結(jié)果。為了實現(xiàn)這一操作，我們必須賦予機器兩種不同的安排;通過第一，個，為執(zhí)行除法而做準(zhǔn)備，通過第二個，指定要操作的柱，和要得出結(jié)果的柱。如果要在除法之后繼續(xù)做其他柱上的兩個數(shù)字的加法，則必須同時改變機器的兩個原始安排。相反的,如果要實現(xiàn)一系列性質(zhì)相同的操作,那個第一個安排可以保持不變,第二個安排單獨做出改變,。因此，可以與機器不同部分溝通的安排（arrangements）可以被分成兩個主要的類型：

第一類，與運算有關(guān)；

第二類，與變量有關(guān)。

我們所說的后者指的是要在其上執(zhí)行操作的柱。至于運算本身，它們是由一種特殊的設(shè)備來執(zhí)行的，這種設(shè)備叫做工廠 (mill，磨坊，巴貝奇從紡織廠借用的詞，即現(xiàn)代計算機中的處理器，譯者按)，它本身包含一定數(shù)量的柱，類似于變量的柱。當(dāng)兩個數(shù)字要組合在一起時，機器首先把它們從代表它們的柱上抹去，也就是說，把兩個柱上表示數(shù)字的系列圓盤都?xì)w位到0;它將數(shù)據(jù)傳輸給工廠。在那里，設(shè)備已經(jīng)根據(jù)所需的運算被適當(dāng)?shù)嘏渲茫\算被執(zhí)行，完成后，結(jié)果本身被傳輸指定的顯示變量的柱。因此，工廠是機器工作的那部分，而變量的柱構(gòu)成了結(jié)果的表示和安排。在前面的解釋之后，我們可以看到所有的分?jǐn)?shù)和無理數(shù)結(jié)果都將以小數(shù)表示。假設(shè)每柱有40個圓盤，這樣的擴展就足以滿足一般要求的所有近似程度。

現(xiàn)在我們要問的是，機器如何能夠在不依靠人手的情況下，自行承擔(dān)起與操作相適應(yīng)的連續(xù)的配置。解決這一問題的方法來自于提花設(shè)備，用于織錦材料的生產(chǎn)，方法如下:

在紡織物中，通常有兩種不同的線;一種是經(jīng)線，另一種是緯線——由一種叫做梭子的設(shè)備傳送的，它穿過經(jīng)線。當(dāng)需要紡織時，必須依次防止某些線穿過緯線，而這是根據(jù)要再現(xiàn)的設(shè)計的性質(zhì)所決定的連續(xù)性來進(jìn)行的。以前，這個過程是漫長而困難的，工人必須按照要復(fù)制的設(shè)計來調(diào)整線的運動。因此，這類織物的價格很高，尤其是當(dāng)各種顏色的線進(jìn)入織物時。為了簡化這一工序，雅卡爾設(shè)計了一種方案，用一根獨特的杠桿把每一組要共同動作的線連接起來。所有這些杠桿端部為棒狀，連接在一起形成一個束，通常是帶矩形底座的平行的桿形式。這些棒是圓柱形的，彼此之間間隔很小。因此，抬起線的過程被分解為按必要的順序移動這些不同的杠桿臂的過程。為了達(dá)到這個目的，我們?nèi)×艘粔K長方形的紙板，比那一捆杠桿臂的截面稍大一些。如果這張紙被固定到束的基礎(chǔ)上，然后一個前進(jìn)的運動被傳達(dá)到紙板，后者將與它一起移動束內(nèi)的所有棒，隨后是連接到每一個棒的線。但是，如果紙板不是平的，而是在與杠桿相連接處開孔，那么，紙板在運動時，每一個杠桿都會穿過紙板，并且它們就都保持在這個位置上。因此，我們可以很容易地在紙板上確定孔的位置，在任何給定的時刻，都有一定數(shù)量的杠桿，因此也就有一定數(shù)量的線，這些線被拉起，而其余的線則保持在原來的位置。假設(shè)這一過程按照所要執(zhí)行的圖案所指示的規(guī)律依次重復(fù)，我們認(rèn)為這個圖案可以在物體上復(fù)制。為了達(dá)到這個目的，我們只需要按照所要求的規(guī)則，把一系列的卡片一張接一張地排列好;然后，通過使它們通過一個多邊形梁，這個梁如此連接，在梭子每一次敲擊時都要轉(zhuǎn)到一個新的面，然后將這個面與杠桿臂平行地推進(jìn)，這樣就可以有規(guī)律地進(jìn)行提升線的操作。因此，我們看到，織物可以以一定的精度和以前很難獲得速度生產(chǎn)。

類似于剛才描述的那些安排被引入到分析機中。它包含兩種主要的卡:第一種是運算卡，機器的一部分被配置執(zhí)行任意確定的一系列運算，如加、減、乘、除。其次，變量卡，它向機器指出要表示結(jié)果的柱。當(dāng)卡片開始運動時，根據(jù)將要完成的過程的性質(zhì)，依次排列機器的各個部分，同時，機器通過組成它的各種機械部件來執(zhí)行這些過程。

為了更完美地理解這個問題，讓我們以兩個一階方程和兩個未知量的解法為例。設(shè)以下兩個方程，其中x和y是未知數(shù):-

我們可以推導(dǎo)出

對于y也有類似的表達(dá)式。我們繼續(xù)用V0 V1 V2 等表示包含數(shù)字的不同柱，我們假設(shè)選擇了前八柱來表示m、n、d、m、n、d、n和n表示的數(shù)字，這意味著V0=m, V1=n, V2=d, V3=m， V4=n， V5=d， V6=n, V7=n。

由卡片指示所進(jìn)行的一系列操作，以及所得到的結(jié)果，可以用下表表示：

由于卡片除了指出機器應(yīng)該以什么方式和在什么柱上工作外，什么也不做，很明顯，我們?nèi)匀槐仨氃诿恳环N特殊情況下，為計算引入數(shù)值數(shù)據(jù)。因此，在我們所選擇的示例中，我們必須預(yù)先在所指示的柱中按順序輸入m、n、d、m、n、d的數(shù)值，在此之后，機器運行將給出該特定情況下的未知數(shù)x的值。為了得到y(tǒng)的值，必須執(zhí)行與前面類似的另一系列操作。但是我們看到它們的數(shù)量只有4，因為y的表達(dá)式的分母，除了符號，和x是一樣的，等于nm-nm。在上表中，我們注意到運算一欄表示四次連續(xù)的乘法、兩次減法和一次除法。因此，如果需要，我們只需使用三張運算卡；要管理這些,應(yīng)當(dāng)把一個設(shè)備引入機器,例如應(yīng)當(dāng)在第一次乘法后,保留卡片與這個操作,而不是讓它前進(jìn)被另一個卡片取代,直到同樣的操作被重復(fù)四次。在前面的例子中，我們已經(jīng)看到，為了求出x的值，我們必須先在8個柱上寫出系數(shù)m, n, d, m， n， d，這樣n和n重復(fù)兩次。根據(jù)同樣的方法，如果需要計算y，這些系數(shù)必須寫在12個不同的柱上。但有可能簡化這一過程，從而減少出錯的機會，因為出錯的機會越大，在機器開始工作之前必須記錄的數(shù)量就越大。為了理解這種簡化，我們必須記住，寫在一柱上的每一個數(shù)字，為了與另一個數(shù)字進(jìn)行算術(shù)組合，必須從它所在的柱上抹去，并轉(zhuǎn)移到工廠。因此，在我們已經(jīng)討論過的例子中，我們將取兩個系數(shù)m和n，它們分別進(jìn)入兩個不同的乘積，即m進(jìn)入mn和md， n進(jìn)入mn和n。這些系數(shù)將被賦值在V0和V4柱上。如果我們開始的一系列操作得到m和n’的乘積,這些數(shù)字將從列V0和V4中抹去,他們會轉(zhuǎn)移到工廠,將相互相乘,然后命令機器把結(jié)果顯示到柱V6上。但是，由于這些數(shù)字將在另一個操作中再次使用，它們必須再次被記錄在某個地方；因此，當(dāng)工廠計算出他們的乘積時，機器將把它們重新寫在由卡片指定的其他兩柱上；在實際情況下,沒有理由為什么他們不把他們恢復(fù)以前的地方,我們將假設(shè)再次刻在V0, V4,那里在短時間內(nèi)他們不會消失,也不再被重現(xiàn),直到他們已經(jīng)通過所有可能會被使用的組合。

因此，我們可以看到，解決上述兩個一階方程所必需的全部運算可以明確地在下表中表示出來：

為了最大限度地減少在輸入問題的數(shù)值數(shù)據(jù)時出錯的機會，它們被依次放置在工廠的一個柱上;然后，通過為此目的而排列的卡片，使這些相同的數(shù)字排列在所需的柱上，不需要操作員給予額外的關(guān)注，這樣他就可以一心一意為這些相同的簡單數(shù)據(jù)賦值。

根據(jù)到現(xiàn)在的解釋,我們可以把變量的柱集合看做是數(shù)字的存儲器,通過工廠積累起來, 以執(zhí)行卡片的形式按照指令傳輸?shù)綑C器,交替的從工廠到存儲器，從存儲器到工廠傳輸,并且可以按照正在運行的計算的性質(zhì)的需求進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

到目前為止，還沒有提到結(jié)果中的符號，如果機器不能表達(dá)組合中的每一個正值和負(fù)值，那它就遠(yuǎn)非完美。為了達(dá)到這一目的，在工廠和存儲器的每一柱的上方都有一個轉(zhuǎn)盤，與柱的轉(zhuǎn)盤相同。根據(jù)這個轉(zhuǎn)盤上數(shù)字是偶數(shù)還是奇數(shù)，其下方對應(yīng)柱上的數(shù)字將被認(rèn)為是正的或負(fù)的。這樣，我們就可以用下面的方法來設(shè)想如何把這些符號在機器里代數(shù)地結(jié)合起來。當(dāng)一個數(shù)字從存儲器轉(zhuǎn)移到工廠，反之亦然，它總是與它的符號一起傳輸，這將通過卡片的方式實現(xiàn)，正如前面所解釋的那樣?，F(xiàn)在，讓我們把要進(jìn)行算術(shù)運算的任何兩個數(shù)字，把它們和它們各自的符號一起轉(zhuǎn)移到工廠。假設(shè)先執(zhí)行加法操作；運算卡發(fā)出加法指令:如果兩個數(shù)字的符號相同，則其中一個數(shù)字將完全從其所在的柱上抹去，并將自己添加到包含另一個數(shù)字的柱上;在這一操作過程中，通過某種裝置，機器將能夠防止屬于加數(shù)所在的那一柱的標(biāo)識符號的轉(zhuǎn)盤保持不動，從而使結(jié)果保持原來的兩個給定數(shù)字的符號。當(dāng)兩個數(shù)字有兩個不同的符號時，通過這種符號的差異所導(dǎo)致的機制的干預(yù)，由卡片所指令的加法將變成減法。因為減法只能影響兩個數(shù)中較大的那個,會有如下的安排：較大的數(shù)的符號轉(zhuǎn)盤不動，較小的數(shù)字被從它的柱上抹去,并從較大的數(shù)字上減去,由此保持了后者的符號，事實上也是如此。由代數(shù)減法產(chǎn)生的組合，與前述討論類似。讓我們繼續(xù)討論乘法。當(dāng)兩個數(shù)相乘的符號相同時，結(jié)果是正數(shù);如果符號不同，乘積一定是負(fù)數(shù)。為了使機器可以按這一規(guī)則行動,我們只能設(shè)想在顯示兩個數(shù)字乘積的柱上,指示這個乘積符號的數(shù)字,是由分別表示兩個給定乘數(shù)符號的數(shù)字相加得到的;很明顯，如果兩個乘數(shù)的符號數(shù)字都是偶數(shù)或奇數(shù)，它們的和將是偶數(shù)，因此表示乘積是一個正數(shù);相反，如果乘數(shù)符號的兩個數(shù)字一個是偶數(shù)，另一個是奇數(shù)，那么它們的和就是奇數(shù)，因此就表示乘積是一個負(fù)數(shù)。在除法的情況下，不是把符號轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字相加，而是把一個減去另一個，這樣就會產(chǎn)生與前述相似的結(jié)果：也就是說，如果這兩個數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，那么這個減法的余數(shù)就是偶數(shù);相反，它就是奇數(shù)。當(dāng)我說到由符號位所表示的數(shù)字相加或相減時，我僅僅是指其中一個符號盤前進(jìn)或后退一定刻度，等于另一個符號盤上的數(shù)字。因此，從前面的解釋中我們可以看出，通過機械把把數(shù)學(xué)量的符號組合起來，可以得到與代數(shù)計算相一致的結(jié)果。